Comment Calculer L'air D'un Demi Cercle

Calculer 50'aire ou la surface d'un disque

Vous avez un calcul d'aire de disque à réaliser ?
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Dans cette fiche-méthode, vous trouverez les formules de calcul d'aire d'un disque, d'un demi-disque, d'united nations secteur de disque, d'un segment de disque et d'un disque creux.

Alors, comment faire pour calculer rapidement et facilement 50'aire (également appelée surface) d'un disque ?

Toutes les réponses à vos questions sont là.

Propriétés du disque

La surface délimitée par un cercle de rayon $r$ correspond à l'aire $A$ du disque de rayon $r$ .

Le disque est caractérisé par :

son eye $O$
son rayon $r$
son diamètre $D$

Différence entre cercle et disque

diffence_cercle_disque

Quelle est la différence entre un cercle et un disque ?

Sur l'illustration ci-dessus, la différence est bien visible.

Un cercle est une courbe (en rouge) fermée constituée des points situés à égale distance (le rayon $r$ ) d'un betoken nommé centre ( $O$ ).

Un disque est une figure géométrique dans un program constituée de tous les points situés à une distance égale ou inférieure au rayon $r$ du eye $O$ .

Peut-on calculer l'aire d'un cercle ?

Le cercle étant une courbe et non une figure géométrique, il n'est pas possible d'en calculer fifty'aire (également appelée la surface).

On calcule par contre le périmètre d'un cercle (soit la longueur de la courbe de ce cercle) également appelée circonférence du cercle (cf. cours sur le calcul du périmètre du cercle.

En mathématiques, on dit que fifty'on calcule fifty'aire ou la surface d'un disque. Elle est généralement exprimée en $cm^two$ .

NB : On parle par contre de périmètre ou circonférence d'un cercle, exprimée en cm.

Formule calcul aire cercle

Avec le rayon r

Pour calculer fifty'aire $A$ d'un disque également appelée surface d'un cercle, exprimée en $cm^iii$ , la formule est la suivante :

$\boxed{Aire_{disque}= \pi r^ii}$

avec :

$r$ = rayon du cercle en cm
$\pi = iii{,}fourteen$

Par exemple, si l'on vous demande de calculer 50'aire $A$ d'un disque de rayon $five$ cm, on applique la formule :
$Aire_{disque} = \pi r^ii = 3{,}14 \times 5^2 = \boxed{78{,}5 cm^ii}$

Avec le diamètre D

Cascade calculer l'aire $A$ d'united nations cercle ou surface d'un cercle, exprimée en $cm^2$ , la formule est la suivante :

$\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{\pi D^2}{iv}}$

avec :

$D$ = diamètre du cercle en cm
$\pi = iii{,}14$
$A$ = aire exprimée en $cm^three$

Dans le cas où l'énoncé vous demande de calculer l'aire $A$ d'un disque de diamètre $8$ cm, vous pouvez :

D'abord calculer le rayon $r$ du cercle ( $D/ii$ soit $4cm$ dans le cas de notre exemple) puis appliquer la formule précédente de calcul de la surface du disque avec le rayon
Soit appliquer directement la formule avec le diamètre $D$

Ici, $Aire_{disque}= \dfrac{\pi D^two}{4} = \dfrac{3{,xiv} \times viii^2}{4} = \dfrac{3{,}14 \times 64}{iv} = \dfrac{200{,}vi}{4}=\boxed{50{,}24cm^two}$

Avec le périmètre ou la circonférence du cercle

Si vous avez déjà calculé le périmètre de votre cercle $C$ dans une question précédente et que vous souhaitez directement en calculer l'aire, on a :

$\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{P \times r}{2}}$

avec :

$A$ = aire du disque en $cm^2$
$P$ = le périmètre ou la circonférence du cercle en cm
$r$ = le rayon du cercle en cm

Par exemple, si 50'on vous demande d'abord de calculer le périmètre ou la circonférence $P$ d'un cercle de rayon $5$ cm.

$P_{cercle} = two \times \pi 5 = ii \times iii{,}14 5 = \boxed{31{,}4cm}$

La question suivante vous demande d'en calculer l'aire, vous pouvez directement appliquer la formule du dessus :

$A_{cercle} = \dfrac{P \times r}{2} = \dfrac{31{,}four \times 5}{2} = \dfrac{157}{2} = \boxed{78{,}5cm^ii}$

On rappelle que pour calculer le périmètre ou la circonférence d'un cercle, on utilise la formule suivante :

$\boxed{P_{cercle}= 2\pi r }$

(Petite astuce mnémotechnique : deux pi-erres)

avec :

$P$ = périmètre (ou circonférence) du cercle
$r$ = rayon du cercle
$\pi= iii{,}14$

Démonstration

Pour mieux comprendre la formule utilisée ci-dessus, voici la démonstration du lien entre périmètre ou circonférence du cercle et aire du disque.

On a :

$P_{cercle}= 2\pi r$
et
$Aire_{disque}= \pi r^2$

On va chercher à faire apparaître $P$ , pour ce faire on va multiplier et diviser par le facteur $2$ .

$Aire_{disque}= \pi r^2 = \dfrac{ ii \pi r^ii}{2}= \dfrac{2 \pi r \times r}{2}$

On retrouve donc bien la formule précédente :

$\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{P_{cercle} \times r}{2}}$

Formule calcul aire demi-cercle

disque_demi_disque_aire

Le disque et le demi-disque partagent le même centre $C$ , le même rayon $r$ et le même diamètre $D$ .

Par conséquent, pour calculer l'aire d'united nations demi-cercle ou la surface d'un demi-disque, il suffit de diviser par $2$ l'aire du disque correspondant.

$A_{demi-disque} = \dfrac{A_{disque}}{2}$

Si vous souhaitez directement calculer l'aire du demi-disque ou du demi-cercle, il existe 3 formules cascade ce faire : une avec le rayon,l'autre avec le diamètre et la dernière avec le périmètre ou la circonférence du cercle.

Avec le rayon r

$\boxed{Aire_{demi-disque}= \dfrac{ \pi r^two}{2}}$

avec :

$r$ = rayon du cercle en cm
$\pi = three{,}14$
$A$ = aire en $cm^2$

Avec le diamètre D

$Aire_{demi-disque}= \dfrac{\dfrac{\pi D^two}{4}}{2} = \dfrac{\pi D^2}{four} \times \dfrac{1}{2} = \boxed{\dfrac{\pi D^2}{8}}$

avec :

$D$ = diamètre du cercle en cm
$\pi = 3{,}14$
$A$ = aire exprimée en $cm^3$

Avec le périmètre ou la circonférence du cercle

$Aire_{demi-disque}= \dfrac{\dfrac{P \times r}{2}}{2}=\dfrac{P \times r}{2} \times \dfrac{i}{2} = \boxed{\dfrac{P r}{four}}$

avec :

$A$ = aire en $cm^two$
$P$ = le périmètre ou la circonférence du cercle en cm
$r$ = le rayon du cercle en cm

Formule calcul aire secteur de disque ou disque tronqué

secteur_disque_surface_calcul

Pour calculer l'aire d'united nations secteur de disque (en vert sur le schéma), ou portion de disque, c'est la formule suivante qu'il convient d'appliquer :

$\boxed{A_{secteurdisque}= \dfrac{ \pi \times \alpha \times r^2}{360}}$
avec :

A = aire en $cm^2$
$r$ = rayon en cm
$\blastoff$ = mesure de l'angle en degré

Formule calcul aire segment de disque

segment_disque_calcul_aire

Pour calculer 50'aire ou la surface d'united nations segment de disque (en bleu sur l'illustration)- on utilise la formule suivante :

$A_{segmentdisque}= \dfrac{(\pi \times \blastoff \times r^2)}{360} - \dfrac{r^2 \sin{\alpha}}{2}$

avec :

A = aire en $cm^2$
$r$ = rayon en cm
$\blastoff$ = mesure de 50'angle en degré

Avec $\alpha =60$ ° et $r=10$ cm, fifty'aire du segment de disque correspondant est donc de :

$A_{segmentdisque}= \dfrac{(\pi \times 60 \times 10^ii)}{360} - \dfrac{10^2 \sin{60}}{2}= \dfrac{three{,}fourteen \times 60 \times 100}{360} - \dfrac{100 \times 0{,}866}{2}$

$= \dfrac{314 \times lx}{360} - \dfrac{86{,}6}{ii} = \dfrac{18840}{360}- 43{,}three \approx 52{,}33 - 43{,}3 \approx 9{,}03 cm^2$

Formule calcul aire disque creux ou couronne circulaire

couronne circulaire disque creux calcul aire

Pour calculer 50'aire du disque creux ou de la couronne circulaire (en jaune sur le dessin), il suffit de soustraire l'aire du yard disque à la surface du petit disque soit :

$A_{couronnecirculaire} =A_{granddisque}-A_{petitdisque}$

Il existe donc deux formules qui résultent de ce calcul.

Avec le rayon r

$\boxed{A_{couronnecirculaire}= \pi (R^2 - r^ii)}$

avec :

$A$ = aire en $cm^2$
$R$ = rayon du plus grand disque en cm
$r$ = rayon du plus petit disque en cm

Avec le diamètre D

$\boxed{A_{couronnecirculaire}= \dfrac{\pi}{4} (D^2 - d^two)}$

avec :

$A$ = aire en $cm^two$
$D$ = diamètre du plus grand disque en cm
$d$ = diamètre du plus petit disque en cm

Calculateurs gratuits d'aire de cercle

Cette fiche détaille toutes les modalités de calcul de l'aire d'un disque.

Vous northward'avez pas envie de faire les calculs vous-même ?
Ou vous voulez vérifier les résultats de vos exercices ou DM ?

Voici deux outils qui vous serviront à calculer automatiquement (et gratuitement) l'aire ou la surface d'un cercle.

Il vous suffira pour cela de rentrer la valeur de son rayon $r$ .

Calcul de fifty'aire d'un cercle avec Calculer.com
Calculer automatiquement l'aire d'un disque avec Calculette.net

Exercices complémentaires

Calcul de l'aire d'un disque
Calculer l'aire d'un secteur circulaire
Fonctions et calcul d'aires de demi-cercles